ПРИЗМА

Призма је полиедар чију површ чине два подударна многоугла која се налазе у различитим паралелним равнима и онолико паралелограма колико ти многоуглови имају страница.

Следећи полиедри нису призме зато што немају по два паралелна многоугла:

Али следећим сликама су приказане призме:

 

Многоуглове који су паралелни називамо ОСНОВЕ призме (има их две), а паралелограме називамо БОЧНЕ СТРАНЕ призме (има их онолико колико страница има многоугао у основи призме). Све бочне стране призме чине њен ОМОТАЧ.

Дуж која је нормална на основе призме и чије крајње тачке припадају равнимаоснова призми, зове се ВИСИНА призме и обележава се са Н.

Странице многоуглова који су у основи призме зову се ОСНОВНЕ ИВИЦЕ , а ивице паралелограма које нису ивице основе зову се БОЧНЕ ИВИЦЕ призме.

ВРСТЕ ПРИЗМИ

Постоје више критеријума по којима разврставамо призме.

Један од критеријума је положај бочних ивица у односу на равни основа.По том критеријуму постоје ПРАВЕ  и КОСЕ призме:

 У основној школи изучавају се само праве призме.

Други критеријум по коме разликујемо призме је према броју страница основе:

ако је у основи троугао, онда је ТРОСТРАНА;

ако је у основи четвороугао, онда је ЧЕТВОРОСТРАНА;

ако је у основи петоугао, онда је ПЕТОСТРАНА;

ако је у основи шестоугао, онда је ШЕСТОСТРАНА;    итд.

Ако су основе праве призме правилни многоуглови (једнакостраничан троугао, квадрат, правилан петоугао, правилан шестоугао,…) онда се такве призме називају ПРАВИЛНЕ ПРИЗМЕ.

Призма чија је основа паралелограм назива се ПАРАЛЕЛОПИПЕД.

Прав паралелопипед, чија је основа паралелограм, назива се КВАДАР.

Квадар чије су све основне и бочне ивице једнаке (квадрати) зове се КОЦКА.

Advertisements

ТАЛЕС – ЧОВЕК ИЗ СЕНКЕ

Једна прича каже: „Било је то у време сина краља Гигија. Близу града Милета, у Јонији, на обали Егејског мора, Талес, син Егзамија и Клеобулине, ишао је преко поља. Талес је пролазио кроз њиве, а поред њега је ишла слушкиња. Осматрао је небо да би на њему открио тајне кретања звезда. Млада слушкиња која га је пратила, примети велику рупу на сред поља. Она је избеже. Талес пак продужавајући са испитивањем неба, упаде у њу. ‘Не успеваш да видиш оно што ти је пред носем, а верујеш да си кадар да упознаш оно што се збива на небу!’ рече слушкиња док му је помагала да изађе из рупе.“ ( из књиге Папагајева теорема – Дени Геђ; Denis Guedj, La Théorème du perroquet)

Друга прича каже да се Талес захваљујући посматрању неба и звезда, односно познавању астрологије, обогатио. Диоген Леартије, грчки историчар филозофије и писац биографија грчких филозофа, је у својој књизи „Живот и мишљења знаменитих филозофа“ писао како је Талес пре свих предвидео да ће те године бити богат род маслина. Због тога је, пре свих, закупио све пресе за цеђење маслина по ниској цени да би их касније по знатно вишој изнајмљивао и тако стекао иметак.

Има пуно прича о Талесу на интернету и ја не би волела да се понављам. Довољно је да на неком претраживачу (нпр. Google) укуцате: Талес, и сазнаће те много тога. Даћу вам неколико линкова који су мени били занимљиви:

http://sr.wikipedia.org/sr/Талес_из_Милета

http://www.diskusije.net/nauka/veliki-matematicari-tales-i-kako-je-izmerio-visinu-piramide-14707/

http://ivanpetrovic.blog.rs/blog/ivanpetrovic/istorija-filozofije/2009/04/30/tales-iz-mileta

Уместо сувопарне приче, цитираћу још мало Денија Геђа и Папагајеву теорему (можда и неког заинтересујем да прочита ову фантастичну књигу):

 „После неколико дана путовања, прекиданог застанцима у местима на обали реке, он је опази. Дизала се усред простране заравни, недалеко од обале, Кеопсова пирамида! Талес никад није видео нешто тако импозантно. Две друге пирамиде, Кефренова и Микериносова, уздизале су се на заравни; са стране, изгледале су мале, а ипак… Током путовања Нилом, путници су га ипак обавестили. Димензије монумента превазилазиле су све што је могао да замисли. Талес напусти фелуку. Што је био ближи, корак му је бивао спорији; као да је монумент, самом својом масом, успевао да успори његове кораке. Поражен, седе. Неки фелах, неодређених година, чучну крај њега. „Знаш ли, странче, колико мртвих је стајала ова пирамида којој се ти, изгледа, дивиш?“ „На хиљаде, свакако.“ „Кажи: На десетине хиљада.“ „На десетине хиљада!“ „Кажи: На стотине хиљада.“ „На стотине хиљада!?“ Талес га погледа неповерљиво.“Још више можда“, допунио је фелах. „Чему толико мртвих?. За копање канала? Да се заустави река? Подигне мост? Сагради друм? Сазидају палате? Подигне храм у част богова? Отвори рудник? Ниси ни близу. Пирамиду је подигао фараон Кеопс с једним циљем да примора људе да схвате сопствену маленкост. Здање је морало да премаши сваку границу да би нас сломило: што је горостасније, ми смо ситнији. Циљ је постигнут. Видео сам те да прилазиш и, на твом лицу, видео сам како се оцртавају учинци те огромности. Фараон и његови архитекти хтели су да нас присиле да прихватимо да између ове пирамиде и нас нема никакве заједничке мере!“

Талес је већ чуо за таква размишљања о науму фараона Кеопса, али никад тако бестидно и тако прецизно изнесена. „Никакве заједничке мере!?“ Изазвао га је тај хотимично безмерни монумент. Здање саграђено, ипак, рукама људи, две хиљаде година већ остајало је изван домашаја њиховог сазнања. Какви год били фараонови циљеви, било је очигледно: висину пирамиде је немогуће измерити. Била је најистакнутија грађевина насељеног света и једина која није могла бити измерена! Талес је хтео да томе доскочи.“ …

И тако даље…

И тако даље… Наставља се прича о томе како је Талес дошао до идеје на који начин да измери висину Кеопсове пирамиде и шта је све произашло из тог открића… (кликни овде)

ПЕТ ПЛАТОНОВИХ ТЕЛА (ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ)

Правилни полиедри су конвексни полиедри чије су све стране правилни и међусобно подударни многоуглови и код којих из сваког темена темена полази исти број ивица.

Постоји само пет правилних полиедара.  (pravilni_poliedri) 

То су:

  • тетраедар ( састоји се из 4 једнакостранична троугла)
  • хексаедар (коцка-састоји се из 6 квадрата)
  • октаедар (састоји се из 8 једнакостраничних троуглова)
  • додекаедар (састоји се из 12 правилних петоуглова)
  • икосаедар (састоји се из 20 једнакостраничних троуглова)

Отктивени су пре више од 2000 година и називају их Платоновим телима, по имену старогрчког филозофа Платона (427.п.н.е.-347.п.н.е.), иако Платон није открио ни једно од ових тела. Неки ове правилне полиедре називају и Питагориним телима (Питагора 570.п.н.е.-495.п.н.е.), јер је откривено да су се још Питагорејци бавили овим телима. Питагорејци су били очарани правилним телима, али и чињеницом да правилних полигона има бесконачно много, а правилних тела само 5. (Доказ да их је само пет извели су доста касније математичари Рене Декарт и Леонард Ојлер). Из неког разлога, упућеност у тело названо додекаедар, чинила им се опасном. Оно је на мистички начин довођено у везу са космосом. Остала четири тела поистовећивана су са „елементима“ која чине свет: са земљом, ватром, ваздухом и водом. Зато се сматрало да овај „пети елемент“ не треба откривати већ је ваљало обичан свет држати у незнању о додекаедру. Чак је и Платон комплетно описао четири правилна тела, а за додекаедар каже: „Постоји и пети, Бог га је употребио за свемир, осликајући на њему ликове (зодијака).    Модели ових пет правилних полиедара налазе се на избочини пред пећином која се налази на врху планине Керкис, на Самосу, у којој је, према предању, живео Питагора. На земљи су тетраедар, коцка, октаедар и икосаедар. На коцки, која преставља Земљу, налази се додекаедар, који су мистички Питагорејци доводили у везу са небесима. Много година касније, немачки астроном Кеплер (1571.-1630.г.н.е.), проучавао је планете и њихово кретање. У Кеплерово време било је познато само шест планета: Меркур, Венера, Земља, Марс, Јупитер и Сатурн. Кеплер се запитао зашто само шест. Зашто размак између њихових орбита износи управо онолико колико је Коперник израчунао? Кеплер је повезао шест планета са пет правилних геометријских тела тако што је сматрао да уколико су уписана или смештена једно у друго, одредити удаљеност планета од Сунца. “ Дане и ноћи проводио сам бавећи се математиком, да бих видео да је моја хипотеза у сагласности са Коперниковим орбитама, али ми је радовање можда било узалудно.“, јер ма колико је мењао реослед и величине тела, тела и орбите планета се никако нису поклапали.

ПОЛИЕДРИ

Полиедар  је део простора који је ограничен многоугловима, при чему важе следећи услови:

  • свака страница било ког многоугла је страница још једног њему суседног многоугла,
  • свака два суседна многоугла припадају различитим равнима и
  • свака два несуседна многоугла се могу повезати низом многоуглова, таквим да су узастопни чланови суседни многоуглови

Полиедри деле простор на два дела. Један је затворени део унутар многоуглова, а други је спољашњи део изван многоуглова.

Унија свих многоуглова који ограничавају полиедар назива се полиедарска површ.

 Сваки од многоуглова у полиедру назива се страна полиедра.

Странице многоуглова зову се ивице полиедра.

Темена многоуглова зову се темена полиедра.

Ми ћемо у школи проучавати само одређене врсте полиедара које се састоје од уније разних познатих геометријских фигура (троуглова, квадрата, правоугаоника, ромба, трапеза…). Те полиедре називамо геометријским телима.

Ево неких вама већ познатих геометријских тела:

квадар

коцка       пирамида              Овим геометријским телимабавићемо се мало касније. Научићемо шта чини њихову мрежу, како се рачунају површина и запремина ових тела.

Најинтересантнија је прича о пет правилних полиедара, који су познатији као Питагорина или Платонова тела.

Историја и примена математике

Сећам се своје основне школе, средње школе и наставника/професора који су ми предавали математику. Били су добри, нарочито наставница у основној школи. Међутим, не сећам се да смо много причали о историји и примени математике. Све се углавном сводило на задатке и формуле. ОК, мени је било занимљиво, јер сам волела математику, али нисам сигурна за друге. Чак и кад сам почела да радим, колегиница која предаје српски језик ме питала чему служе синус и косинус и зашто се то уопште учи. Она каже да им то нико није објаснио, само су радили задатке, трансформације и тако то. Ни ја се не сећам да ми је то објашњено у школи.

Ја сам прве текстове из историје математике, физике, астрономије прочитала у књизи „Космос“ Карла Сагана, коју моји родитељи имају у својој библиотеци. Месецима сам била фасцинирана стварима које сам тамо прочитала. И сада сам. Многе ствари које сам тамо прочитала, а и у другим књигама и енциклопедијама, трудим се да пренесем ученицима, колико је то могуће. Видим да и све већи број мојих колега математичара то ради.

Потрудићу се да овде, у наредним чланцима, својим (и не само својим) ученицима још више приближим математику на овај начин.